Le modèle dynamique de base – risque financier
Section 2 :
Le modèle dynamique de base
1- Marchés de titres
« Un titre est un droit sur un processus de dividendes adapté, (D) par exemple, ou Dt est le dividende versé par le titre à la date t.
Chaque titre a un processus de prix adapté S, St étant le prix ex-dividende du titre à la date t, ainsi a chaque date t le titre paye un dividende St et se négocie alors au prix St.
Cette convention implique que D0 ne joue aucun rôle dans la détermination des prix ex-dividende. Le prix cum-dividende du titre à la date t est St + Dt.
Supposons qu’il existe n titres définis par le processus de dividendes adapté à valeurs dans Rn : D = (D1,………, Dn). Le processus des prix de ces titres est :
S = (S1,…, Sn). Une stratégie de portefeuille est un processus adapté P dans Rn
Pt = ( Pt1 , Pt2 , …., Ptn)
Il représente le portefeuille détenu après la conclusion des échanges à la date t. le processus de dividendes Dp généré par une
stratégie de portefeuille P est définie par
Dtp = [Pt-1 * (St + Dt)] – St* Dt
Avec « p-1 =0 »par convention
2- Arbitrage, prix contingents, et martingales
Etant donné un couple (D, S) pour N titres, une stratégie de portefeuille P est un arbitrage si Dp >0.
Il y absence d’opportunité d’arbitrage si et seulement si il existe un fonction linéaire strictement croissante F : L R, où L est l’espace des processus adaptés (processus des dividendes), telle que F (Dp ) = 0 pour toute stratégie de portefeuille P.
